天府教育大联考数学16题怎么解？

99ANYc3cd6 联考资讯 2026-04-17 3

由于我无法直接获取到试卷的原始图片，但我可以根据历年高考和大型联考中，作为第16题（通常是填空题的最后一道或解答题的开头）的典型特征，为你构建一道非常可能出现的题目，并提供详细的解题思路和方法。类型预测： 数列与不等式的综合应用，通常需要用到数学归纳法或放缩法**。

（图片来源网络，侵删）

模拟题目

已知数列 ${a_n}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，满足 $a1 = 1$，且对于任意 $n \in \mathbb{N}^*$，有 $S{n+1} = 3S_n - 2n + 3$。 (1) 求 $a_2, a_3$ 的值； (2) 求数列 ${a_n}$ 的通项公式； (3) 证明：$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n} < \frac{5}{3}$。

详细解析

(1) 求 $a_2, a_3$ 的值

思路： 利用递推关系式和前 $n$ 项和的定义 $a_n = Sn - S{n-1}$ (n ≥ 2)。

解答：

求 $a_2$:
（图片来源网络，侵删）
- 当 $n=1$ 时，$S_{2} = 3S_1 - 2 \times 1 + 3$。
- 已知 $a_1 = 1$，$S_1 = a_1 = 1$。
- 代入得：$S_2 = 3 \times 1 - 2 + 3 = 4$。
- 因为 $S_2 = a_1 + a_2$，$a_2 = S_2 - S_1 = 4 - 1 = 3$。
求 $a_3$:
- 当 $n=2$ 时，$S_{3} = 3S_2 - 2 \times 2 + 3$。
- 我们已求得 $S_2 = 4$，代入得：$S_3 = 3 \times 4 - 4 + 3 = 12 - 4 + 3 = 11$。
- 因为 $S_3 = a_1 + a_2 + a_3$，$a_3 = S_3 - S_2 = 11 - 4 = 7$。

答案： $a_2 = \boxed{3}$，$a_3 = \boxed{7}$。

(2) 求数列 ${a_n}$ 的通项公式

思路： 这类由 $Sn$ 和 $S{n+1}$ 的递推关系求 $a_n$ 的问题,标准解法是：

写出 $S_n$ 的表达式：$Sn = 3S{n-1} - 2(n-1) + 3$。
将 $S_{n+1}$ 和 $Sn$ 的表达式相减，得到 $a{n+1}$ 与 $a_n$ 的递推关系。
解这个新的递推关系,得到通项公式。

解答：

（图片来源网络，侵删）

第一步：建立 $a_n$ 的递推关系。
- 已知 $S_{n+1} = 3S_n - 2n + 3$ (式①)
- 将 $n$ 替换为 $n-1$，得：$Sn = 3S{n-1} - 2(n-1) + 3$ (式②)
- ① - ② 得：$S_{n+1} - S_n = 3(Sn - S{n-1}) - 2$
- 即：$a_{n+1} = 3a_n - 2$ (n ≥ 2)
第二步：求解递推关系。
- 我们得到了一个关于 $an$ 的线性递推关系：$a{n+1} = 3a_n - 2$。
- 这是一个非齐次线性递推关系,我们可以通过构造法求解。
- 设 $a_{n+1} + k = 3(an + k)$，展开得 $a{n+1} = 3a_n + 2k$。
- 与原式 $a_{n+1} = 3a_n - 2$ 对比，得 $2k = -2$，$k = -1$。
- 数列 ${a_n - 1}$ 是一个以 $a_2 - 1 = 3 - 1 = 2$ 为首项，公比为 $3$ 的等比数列。
- $a_n - 1 = (a_2 - 1) \cdot 3^{n-2} = 2 \cdot 3^{n-2}$。
- 解得：$a_n = 2 \cdot 3^{n-2} + 1$ (n ≥ 2)。
第三步：验证初始项。
- 我们需要验证这个通项公式对 $n=1$ 是否成立。
- 当 $n=1$ 时，$a_1 = 2 \cdot 3^{1-2} + 1 = 2 \cdot \frac{1}{3} + 1 = \frac{5}{3}$。
- 但题目中给出 $a_1 = 1$，所以这个通项公式在 $n=1$ 时不成立。
第四步：写出分段形式的通项公式。

数列 ${a_n}$ 的通项公式为： $$ a_n = \begin{cases} 1, & n=1 \ 2 \cdot 3^{n-2} + 1, & n \ge 2 \end{cases} $$

答案： $a_n = \begin{cases} 1, & n=1 \ 2 \cdot 3^{n-2} + 1, & n \ge 2 \end{cases}$

(3) 证明：$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n} < \frac{5}{3}$

思路： 这是典型的数列求和不等式证明题，观察到 $a_n$ 在 $n \ge 2$ 时是一个指数增长形式，其倒数 $\frac{1}{a_n}$ 会迅速减小。放缩法是首选策略，通常我们会将 $\frac{1}{a_n}$ 放缩成一个可以求和的等比数列。

解答：

第一步：写出求和式。
- 设 $T_n = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}$。
- 根据通项公式，$T_n = \frac{1}{1} + \frac{1}{2 \cdot 3^{0} + 1} + \frac{1}{2 \cdot 3^{1} + 1} + \cdots + \frac{1}{2 \cdot 3^{n-2} + 1}$。
- 即 $T_n = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{19} + \cdots + \frac{1}{2 \cdot 3^{n-2} + 1}$。
第二步：进行放缩。
- 观察通项 $\frac{1}{2 \cdot 3^{k-2} + 1}$ ($k \ge 2$)。
- 因为分母 $2 \cdot 3^{k-2} + 1 > 2 \cdot 3^{k-2}$，$\frac{1}{2 \cdot 3^{k-2} + 1} < \frac{1}{2 \cdot 3^{k-2}}$。
- 我们对从第二项开始的和进行放缩： $$ \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \cdots + \frac{1}{a_n} < \frac{1}{3} + \frac{1}{2 \cdot 3^{1}} + \frac{1}{2 \cdot 3^{2}} + \cdots + \frac{1}{2 \cdot 3^{n-2}} $$
第三步：求和并化简。
- 右边是一个等比数列求和，首项 $b_1 = \frac{1}{3}$，公比 $q = \frac{1}{3}$。
- 其前 $n-1$ 项和为： $$ S_{n-1} = \frac{\frac{1}{3} \left[1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\right]}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3} \left[1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\right]}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2} \left[1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\right] $$
- 因为 $\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} > 0$，$S_{n-1} < \frac{1}{2}$。
第四步：整合结论。
- 将放缩后的和代回 $T_n$： $$ T_n = 1 + \left(\frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \cdots + \frac{1}{a_n}\right) < 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $$
- 我们得到了 $T_n < \frac{3}{2}$，但题目要求证明 $T_n < \frac{5}{3}$。
- 因为 $\frac{3}{2} = 1.5$，$\frac{5}{3} \approx 1.666...$，显然 $\frac{3}{2} < \frac{5}{3}$ 成立。
- $T_n < \frac{3}{2} < \frac{5}{3}$,命题得证。
（可选）优化放缩技巧
- 为了更精确地逼近目标值，或者让证明过程更“漂亮”,我们可以调整放缩的起点。
- 尝试保留前两项，从第三项开始放缩： $$ T_n = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \left(\frac{1}{a_3} + \cdots + \frac{1}{a_n}\right) $$ $$ T_n = 1 + \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{7} + \frac{1}{19} + \cdots + \frac{1}{2 \cdot 3^{n-2} + 1}\right) $$
- 从第三项开始放缩：$\frac{1}{2 \cdot 3^{k-2} + 1} < \frac{1}{2 \cdot 3^{k-2}}$ (k ≥ 3) $$ T_n < \frac{4}{3} + \left(\frac{1}{2 \cdot 3^{1}} + \frac{1}{2 \cdot 3^{2}} + \cdots + \frac{1}{2 \cdot 3^{n-2}}\right) $$
- 右边是一个等比数列求和，首项 $b_1' = \frac{1}{6}$，公比 $q = \frac{1}{3}$。 $$ S' = \frac{\frac{1}{6}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{4} $$
- $T_n < \frac{4}{3} + \frac{1}{4} = \frac{16}{12} + \frac{3}{12} = \frac{19}{12} \approx 1.583$。
- 仍然有 $\frac{19}{12} < \frac{5}{3}$，证明成立，这种放缩方式更接近目标值,但第一种方法已经足够证明结论。

对于任意 $n \in \mathbb{N}^*$，都有 $\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n} < \frac{5}{3}$,证毕。

总结与反思

这道题是典型的“递推求通项”与“放缩法证明不等式”的结合体,是高考和联考中的常见压轴题型。

核心知识点：
- 数列： 前$n$项和与通项的关系 $a_n = Sn - S{n-1}$。
- 递推关系： 由 $S_n$ 递推式转化为 $a_n$ 递推式的方法。
- 数列求和： 等比数列求和公式。
- 不等式证明： 放缩法的思想与应用。
解题技巧：
- (2)问的关键： 遇到 $S_{n+1} = pS_n + f(n)$ 形式的问题，一定要想到“相减法”来求 $a_n$ 的递推关系,最后一定要记得验证初始项是否满足求得的通项。
- (3)问的关键： 放缩的目标是构造一个容易求和的数列（通常是等比数列或等差数列），放缩的尺度要把握好，既要保证不等式成立，又要让求和后的结果能轻松小于目标值，对于指数型增长的分母,放缩成等比数列是常规操作。